Reflexión (matemáticas)

En matemáticas, una reflexión (también reflexión deletreada) es una correlación de un espacio Euclidiano a sí que es un isometry con un hiperavión como el juego de puntos fijos; este juego se llama el eje (en la dimensión 2) o avión (en la dimensión 3) de la reflexión. La imagen de una cifra por una reflexión es su imagen especular en el eje o el avión de la reflexión. Por ejemplo la imagen especular de la pequeña carta p latina para una reflexión con respecto a un eje vertical parecería a q. Su imagen por la reflexión en un eje horizontal parecería a b. Una reflexión es una involución: cuando aplicado dos veces en la sucesión, cada punto vuelve a su posición original, y cada objeto geométrico se devuelve a su estado original.

El término "reflexión" a veces usa para una clase más grande de correlaciones de un espacio Euclidiano a sí, a saber la no identidad isometries que son involuciones. Tales isometries tienen un juego de puntos fijos (el "espejo") que es un subespacio affine, pero es posiblemente más pequeño que un hiperavión. Por ejemplo una reflexión a través de un punto es un involutive isometry con sólo un punto fijo; la imagen de la carta p bajo ello

parecería a un d. Esta operación también se conoce como una inversión central y expone el espacio Euclidiano como un espacio simétrico. En un espacio vectorial Euclidiano, la reflexión en el punto situado en el origen es lo mismo como la negación del vector. Otros ejemplos incluyen reflexiones en una línea en el espacio tridimensional. Típicamente, sin embargo, el uso no calificado del término "reflexión" significa la reflexión en un hiperavión.

Se dice que una cifra que no cambia para someterse a una reflexión tiene la simetría reflectional.

Construcción

En el avión (o de 3 dimensiones) geometría, para encontrar la reflexión de un punto uno deja caer un perpendicular del punto en la línea (avión) usado para la reflexión y lo sigue a la misma distancia al otro lado. Para encontrar la reflexión de una cifra, uno refleja cada punto en la cifra.

Propiedades

La matriz para una reflexión es ortogonal con el determinante-1 y eigenvalues (1, 1, 1... 1,-1). El producto de dos tales matrices es una matriz ortogonal especial que representa una rotación. Cada rotación es el resultado de reflejo en un número par de reflexiones en hiperaviones a través del origen, y cada rotación impropia es el resultado de reflejo en un número impar. Así las reflexiones generan el grupo ortogonal, y este resultado se conoce como el teorema de Cartan-Dieudonné.

De manera similar el grupo Euclidiano, que consiste en todo isometries del espacio Euclidiano, es generado por reflexiones en hiperaviones affine. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperaviones affine se conoce como un grupo de reflexión. Los grupos finitos generaron de esta manera son ejemplos de grupos de Coxeter.

Reflexión a través de una línea en el avión

La reflexión a través de una línea a través del origen en dos dimensiones puede ser descrita por la fórmula siguiente

:

Donde v denota que el vector reflejado, l denota cualquier vector en la línea reflejada en, y v · el l denota el producto de punto de v con l. Note que la fórmula encima también se puede describir como

:

Donde la reflexión de línea l en ser igual a 2 veces la proyección de v en línea l menos v.

Las reflexiones en una línea tienen el eigenvalues de 1, y 1.

Reflexión a través de un hiperavión en dimensiones n

Considerando un vector un en el espacio Euclidiano R, la fórmula para la reflexión en el hiperavión a través del origen, ortogonal a a, da

:

donde v · denotar el producto de punto de v con a. Note que el segundo término en la susodicha ecuación es sólo dos veces la proyección del vector de v en a. Uno puede comprobar fácilmente esto

  • En cuanto a (v) = − v, si v es paralelo a a y
  • En cuanto a (v) = v, si v es perpendicular a a.

Usando el producto geométrico la fórmula es un poco más simple

:

Ya que estas reflexiones son isometries del espacio Euclidiano que fija el origen, pueden ser representados por matrices ortogonal. La matriz ortogonal correspondiente a la susodicha reflexión es la matriz cuyas entradas son

:

donde δ es el delta de Kronecker.

La fórmula para la reflexión en el hiperavión affine no a través del origen es

:

Véase también

  • Rotaciones coordinativas y reflexiones
  • Transformación de la cabeza de familia
  • Geometría de Inversive
  • Reflexión del punto
  • Avión de rotación
  • Reflexión que traza un mapa
  • Grupo de reflexión

Enlaces externos


Single de 12 pulgadas / Liga comunista joven los EE. UU
Impress & Privacy