Distribución de Maxwell-Boltzmann

En física, mecánica particularmente estadística, la distribución de Maxwell-Boltzmann describe velocidades de la partícula en gases, donde las partículas se mueven libremente entre colisiones cortas, pero no se relacionan el uno con el otro, como una función de la temperatura del sistema, la masa de la partícula y la velocidad de la partícula. La partícula en este contexto se refiere a los átomos gaseosos o moléculas – ninguna diferencia se hace entre los dos en su desarrollo y resultado.

Es una distribución de probabilidad para la velocidad de una partícula que constituye el gas - la magnitud de su vector de velocidad, significando que para una temperatura dada, la partícula hará seleccionar una velocidad al azar de la distribución, pero con mayor probabilidad será dentro de una variedad de algunas velocidades que otros.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se aplica a gases ideales cerca del equilibrio termodinámico con efectos cuánticos insignificantes y con velocidades no relativistas. Forma la base de la teoría cinética de gases, que proporciona una explicación simplificada de muchas propiedades gaseosas fundamentales, incluso presión y difusión. Sin embargo - hay una generalización a velocidades relativistas, ver la distribución de Maxwell-Juttner abajo.

La distribución se nombra por el oficinista de James Maxwell y Ludwig Boltzmann.

Aplicaciones físicas

Por lo general la distribución de Maxwell-Boltzmann se refiere a velocidades moleculares, sino también se aplica a la distribución de los ímpetus y la energía de las moléculas.

Para cantidades del vector de 3 dimensiones, los componentes se tratan independientes y normalmente distribuidos con el medio igual a 0 y desviación estándar de. Si se distribuyen como, entonces

:

se distribuye como una distribución de Maxwell-Boltzmann con el parámetro. Aparte del parámetro de la escala, la distribución es idéntica a la distribución chi con 3 niveles de la libertad.

Distribuciones (varias formas)

La derivación original por Maxwell supuso que tres direcciones se comportaran de la misma moda, pero una derivación posterior por Boltzmann dejó caer esta asunción usando la teoría cinética. La distribución de Maxwell-Boltzmann (para energías) se puede el más fácilmente sacar ahora de la distribución de Boltzmann para energías (también ver la estadística de Maxwell-Boltzmann de la mecánica estadística):

:

\frac {N_i} {N} = \frac {g_i \exp\left (-E_i/kT \right)} {\sum_ {j} ^ {} g_j \, {\\exp\left (-E_j/kT\right)} }\

\qquad\qquad (1) </matemáticas>

donde:

  • soy el microestado (indicación que estados cuánticos de la partícula de la configuración - ven la partición funcionar).
  • El E es el nivel de la energía del microestado i.
  • El T es la temperatura de equilibrio del sistema.
  • el g es el factor de la degeneración o el número de microestados degenerados que tienen el mismo nivel de la energía
  • el k es Boltzmann constante.
  • El N es el número de moléculas a la temperatura de equilibrio T, en un estado i que tiene la energía E y la degeneración g.
  • El N es el número total de moléculas en el sistema.

Note que a veces la susodicha ecuación se escribe sin el factor de la degeneración g. En este caso el índice especificaré un estado independiente, más bien que un juego de estados de g que tienen la misma energía E. Como la velocidad y la velocidad se relacionan con la energía, la Ecuación 1 puede ser usada para sacar relaciones entre la temperatura y las velocidades de moléculas en un gas. El denominador en esta ecuación se conoce como la función de partición canónica.

Distribución para el vector de ímpetu

Lo siguiente es una derivación como un loco diferente de la derivación descrita por James Clerk Maxwell y más tarde describió con menos asunciones por Ludwig Boltzmann. En cambio está cerca del enfoque posterior de Boltzmann de 1877.

Para el caso de un "gas ideal" que consiste en átomos que se no relacionan en el estado de la tierra, toda la energía está en la forma de la energía cinética, y g es constante para todo yo. La relación entre energía cinética e ímpetu para partículas masivas es

:

E = \frac {p^2} {}de 2 m \

\qquad\qquad (2) </matemáticas>

donde p es el cuadrado del vector de ímpetu

p = [p, p, p]. Podemos volver a escribir por lo tanto la Ecuación 1 como:

:

\frac {N_i} {N} =

\frac {1} {Z}

\exp \left [

- \frac {p_ {yo, x} ^2 + p_ {yo, y} ^2 + p_ {yo, z} ^2} {2mkT }\

\right]

\qquad\qquad (3) </matemáticas>

donde Z es la función de partición, correspondiente al denominador en la Ecuación 1. Aquí el m es la masa molecular del gas, el T es la temperatura termodinámica y k es Boltzmann constante. Esta distribución de N/N es proporcional a la función de densidad de probabilidad f para encontrar una molécula con estos valores de componentes de ímpetu, por tanto:

:

f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) =

\frac {c} {Z}

\exp \left [

- \frac {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} {2mkT }\

\right].

\qquad\qquad (4) </matemáticas>

C constante que se normaliza, se puede determinar reconociendo que la probabilidad de una molécula que tiene cualquier ímpetu debe ser 1. Por lo tanto la integral de ecuación 4 sobre todo p, p, y p debe ser 1.

Se puede mostrar que:

:

c = \frac {Z} {(2 \pi mkT) ^ {3/2}}.

\qquad\qquad (5) </matemáticas>

La substitución de la Ecuación 5 en la Ecuación 4 da:

:

f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) =

\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^ {3/2 }\

\exp \left [

- \frac {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} {2mkT }\

\right].

\qquad\qquad (6) </matemáticas>

Se ve que la distribución es el producto de tres independientes variables normalmente distribuidas, y, con el desacuerdo. Además, se puede ver que la magnitud de ímpetu se distribuirá como una distribución de Maxwell-Boltzmann, con.

La distribución de Maxwell-Boltzmann para el ímpetu (o igualmente para las velocidades) se puede obtener más fundamentalmente usando el H-teorema en el equilibrio dentro del marco de la teoría cinético.

Distribución para la energía

La utilización p ² = 2mE, y la distribución funciona para la magnitud del ímpetu (véase abajo), conseguimos la distribución de la energía:

:

f_E \, dE=f_p\left (\frac {dp} {dE }\\derecho) \, dE =2\sqrt {\\frac {E} {\\pi}} \left (\frac {1} {kT} \right) ^ {3/2 }\\exp\left [\frac {-E} {kT }\\derecho] \, dE. \qquad

\qquad (7)

</matemáticas>

Ya que la energía es proporcional a la suma de los cuadrados de los tres componentes de ímpetu normalmente distribuidos, esta distribución es una distribución gamma y una distribución chi-cuadriculada con tres niveles de la libertad.

Por el teorema equipartition, esta energía regularmente se distribuye entre tres niveles de la libertad, de modo que la energía por nivel de la libertad se distribuya como una distribución chi-cuadriculada con un nivel de la libertad:

:

f_\epsilon (\epsilon) \, d\epsilon =\sqrt {\\frac {\\epsilon} {\\pi kT}} ~ \exp\left [\frac {-\epsilon} {kT }\\derecho] \, d\epsilon

</matemáticas>

donde está la energía por nivel de la libertad. En el equilibrio, esta distribución se mantendrá para cualquier número de niveles de la libertad. Por ejemplo, si las partículas son dipolos de masas rígidos, tendrán tres niveles de translación de la libertad y dos niveles rotatorios adicionales de la libertad. La energía en cada nivel de la libertad se describirá según la susodicha distribución chi-cuadriculada con un nivel de la libertad, y la energía total se distribuirá según una distribución chi-cuadriculada con cinco niveles de la libertad. Esto tiene implicaciones en la teoría del calor específico de un gas.

La distribución de Maxwell-Boltzmann también se puede obtener pensando el gas ser un tipo de gas cuántico.

Distribución para el vector de velocidad

El reconocimiento que la densidad de probabilidad de velocidad f es proporcional a la función de densidad de probabilidad de ímpetu por

:

f_\mathbf {v} d^3v = f_\mathbf {p} \left (\frac {dp} {dv }\\derecho) ^3 d^3v

</matemáticas>

y usando p = mv conseguimos

:

f_\mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) =

\left (\frac {m} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2 }\

\exp \left [-

\frac {m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT }\

\right],

\qquad\qquad </matemáticas>

que es la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann. La probabilidad de encontrar una partícula con la velocidad en el elemento infinitésimo [dv, dv, dv] sobre la velocidad v = [v, v, v] es

:

f_\mathbf {v} \left (v_x, v_y, v_z\right) \, dv_x \, dv_y \, dv_z.

</matemáticas>

Como el ímpetu, se ve que esta distribución es el producto de tres independientes variables normalmente distribuidas, y, pero con el desacuerdo. También se puede ver que la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann para la velocidad del vector

[v, v, v] es el producto de las distribuciones para cada una de las tres direcciones:

:

f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z)

</matemáticas>

donde la distribución para una dirección sola es

:

f_v (v_i) =

\sqrt {\\frac {m} {2 \pi kT} }\

\exp \left [

\frac {-mv_i^2} {2kT }\

\right].

\qquad\qquad </matemáticas>

Cada componente del vector de velocidad tiene una distribución normal con la desviación media y estándar, por tanto el vector tiene una distribución normal de 3 dimensiones, también llamada una distribución "multinormal", con la desviación media y estándar.

Distribución para la velocidad

Por lo general, más nos interesamos en las velocidades de moléculas, más bien que sus velocidades componentes. La distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad sigue inmediatamente de la distribución del vector de velocidad, encima. Note que la velocidad es

:

y el incremento de volumen es

:

donde y son el "curso" (el acimut del vector de velocidad) y "ángulo del camino" (el ángulo de la elevación del vector de velocidad). La integración de la función de densidad de probabilidad normal de la velocidad, encima, sobre el curso (de 0 a) y ángulo del camino (de 0 a), con la substitución de la velocidad para la suma de los cuadrados de los componentes del vector, cede la función de densidad de probabilidad

:

para la velocidad. Esta ecuación es simplemente la distribución de Maxwell con el parámetro de distribución.

A menudo más nos interesamos en cantidades como la velocidad media de las partículas, más bien que la distribución actual. La velocidad media, la velocidad más probable (modo), y medio cuadrado se puede obtener de propiedades de la distribución de Maxwell.

Distribución para velocidad relativa

La velocidad relativa se define como, donde está la velocidad más probable. La distribución de velocidades relativas permite la comparación de gasses distinto, independiente del peso molecular y de temperaturas.

Velocidades típicas

Aunque la susodicha ecuación dé la distribución para la velocidad o, en otras palabras, la fracción del tiempo la molécula tiene una velocidad particular, a menudo más nos interesamos en cantidades como la velocidad media, más bien que la distribución entera.

La velocidad más probable, v, es la velocidad con la mayor probabilidad para ser poseída por cualquier molécula (de la misma masa m) en el sistema y equivale al valor máximo o el modo de f (v). Para encontrarlo, calculamos df/dv, lo ponemos al cero y solucionamos para v:

:

que cede:

:

Donde R es la constante de gas y el M = N m es la masa de la muela de la sustancia.

Para el nitrógeno diatomic (N, el componente primario de aire) en la temperatura ambiente (300 K), esto da m/s

La velocidad media es el promedio matemático de la distribución de la velocidad

:

La velocidad del cuadrado medio de la raíz, v es la raíz cuadrada de la velocidad cuadriculada media:

:

Las velocidades típicas se relacionan así:

:

Distribución para velocidades relativistas

Como el gas se hace más caliente y kT se acerca o excede mc, la distribución de probabilidad para en este gas de Maxwellian relativista da la distribución de Maxwell-Juttner:

:

\mathrm {exp}

\left (

- \frac {\\gamma} {\\theta}

\right)

\qquad (11)

</matemáticas>

donde y es la función de Bessel modificada de la segunda clase.

O bien, esto se puede escribir en términos de ímpetu como

:

</matemáticas>

donde. La ecuación de Maxwell-Juttner es covariant, pero no manifiestamente tan, y la temperatura del gas no varía con la velocidad gruesa del gas.

Véase también

Adelante lectura

  • Física para Científicos e Ingenieros - con Física Moderna (6ta Edición), P. A. Tipler, G. Mosca, Ciudadano de honor, 2008, ISBN 0 7167 8964 7
  • Termodinámica, De Conceptos a Aplicaciones (2da Edición), A. Shavit, C. Gutfinger, Prensa de CRC (Taylor y Francis Group, los EE. UU), 2009, ISBN (13-) 978-1-4200-7368-3
  • Termodinámica química, D.J.G. Ives, Química universitaria, Macdonald Técnico y Científico, 1971, ISBN 0356-03736-3
  • Elementos de Termodinámica Estadística (2da Edición), L.K. Nash, Principios de Química, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6

Enlaces externos


Uno del mayo / Margaret Thatcher
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